Asal sayılar, yalnızca kendilerine ve 1'e bölünebildikleri için sadece iki böleni olan sayılardır . Ancak dikkat! Hem pozitif hem de negatif sayılara bölünebilirler. Bu ne anlama geliyor? Çok basit. Örneğin, 2 asal sayısı yalnızca 2, -2, 1 ve -1'e bölünebilir.
İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayılar denir . Örneğin, 10 gibi bir bileşik sayıyı ele alırsak, hem kendisine hem de 1'e, yani 10 ve 2'e bölünebildiği gibi, 2 ve 5'e de bölünebildiğini görürüz. Bu nedenle, 10 bir bileşik sayıdır.
Tüm sayılar asal mı yoksa bileşik mi?
Asal veya bileşik sayı olmayan iki "özel" sayı vardır : 0 ve 1. Neden? Gelin birlikte bulalım:
- 1 sayısı kendisine (1/1 = 1) ve birliğe, yani 1 sayısına (1/1 = 1) bölünebilir. Ancak bir sayının asal sayılabilmesi için 2 farklı böleni olması gerekir. 1 sayısının yalnızca bir böleni vardır, bu nedenle ne asal ne de bileşiktir.
- Sonuç belirsiz olduğu için 0 kendisine bölünemez.
Öyleyse, kalan çok sayıdaki sayıdan 0 ve 1'i listeden çıkarırsak, hangilerinin asal olup hangilerinin olmadığını nasıl bileceğiz?
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır
En normal şey atarak yapmayı düşünmek yani bölenleri bulana kadar teste gitmek. Bir hesap makinesi ile oldukça hızlıdır, ancak bunu baş aşağı veya bir kalem ve kağıt ile yapmak zorunda kalırsak işler biraz karmaşıklaşır. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için size iki yöntem öğretiyoruz.
Eratosthenes'in eleği
Eratosthenes Kalburu, ilk asal sayı olan 2 ile belirli bir sayı arasında asal sayıları bulmak için kullanılan bir tekniktir.
Bu yöntem, bir tablo oluşturmak ve tam sayıların katlarını çizmekten oluşur. İlk önce 2'nin katlarını, ardından 3'ü, karesi tablodaki son sayıdan büyük olan sayıya ulaşana kadar elemeye devam edeceğiz.
Matematikteki her şey gibi Eratosthenes eleği de en iyi şu örnekle anlaşılır:
- 2'den 30'a kadar sayılarla bir tablo yapıyoruz.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- 2'nin katlarını listeden çıkarıyoruz, yani 2'den 2: 4, 6 vb. Dikkat et! Sadece kendisi ve 2 sayısı arasında bölünebilen 1, asal bir sayı olduğu için üzerini çizmiyoruz.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- Bir sonraki sayı olan 3'ü alıyoruz ve karenin tablodaki en büyük sayıdan küçük olup olmadığını kontrol ediyoruz. 3 olarak2 <30, elek ile devam ediyoruz ve katlarını çiziyoruz: 6, 9, 12 ... Bir önceki adımda olduğu gibi, yine asal olan 3 sayısını atlamıyoruz.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- Tablodaki bir sonraki sayı ile önceki adımı tekrarlıyoruz: 4'ün üzeri çiziliyor, bu yüzden 5'i alıyoruz.2 <30, katlarını çiziyoruz.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- Aşağıdaki numara ile üzerini çizmeden devam ediyoruz: 7. As 72 = 49, yani 7'nin karesi tablodaki son sayıdan büyüktür, yöntem biter ve çaprazlanmamış sayılar asal sayılardır.
- Çözüm. 2 ile 30 arasındaki asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29.
Eratosthenes Kalburu, asal sayıları bulmak için hızlı ve kolay bir yöntemdir, ancak incelemek istediğimiz sayı çok büyükse , örneğin 54657 ise ne olacak?
Tahmin edebileceğiniz gibi, 2'den 54657'ye kadar bir tablo oluşturmak pek pratik olmazdı, değil mi? Peki o zaman ne yapabiliriz? Çok kolay: bölünebilirlik kurallarını kullanabiliriz.
Bölünebilirlik kriterleri
Bölünebilirlik kriterleri, bölme işlemi yapmadan bir sayının başka bir sayıya bölünebilir olup olmadığını bulmaya yönelik kurallardır.
Böylece, bu kuralları kullanırsak ve bir sayının kendisinden ve birimden başka bir sayıya bölünebildiğini gözlemlersek, onun asal olmadığını bileceğiz.
- 2 sayısının bölünebilme kriteri Bir sayı çift ise, yani 2, 0, 2, 4 veya 6 ile bitiyorsa 8'ye tam bölünür. Ve işte bir numara: 4'e bölünebilen herhangi bir sayı gibi, 6 veya 8 de 2'ye tam bölünür, diğer çift sayıların bölünebilme kriterlerini bilmemize gerek yoktur.
- 3'ün bölünebilme kriteri. Rakamları toplamı üçün katı olan bir sayı 3'e tam bölünür. Bir örnek görelim:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
15 3'ün katı olduğu için 267 3'e tam bölünür.
Ayrıca 9'a bölünebilen her sayı 3'e de bölünebildiği için bu kriteri bilmemiz yeterli olacaktır.
- 5'in bölünebilme kriteri. Bir sayı 5 veya 0 ile bitiyorsa 5'e tam bölünür.
- 7'nin bölünebilme kriteri Bir sayının 7'ye tam bölünüp bölünmediğini bulmak için son basamağı olmayan sayıyı ve son basamağının iki katı olan sayıyı çıkarmamız gerekir. Elde edilen sayı 0 veya 7'nin katı ise, ilk sayı 7'ye bölünür. Bunu bir örnekle daha iyi anlayacaksınız, gelelim!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
21 7'ün katı olduğu için 378 7'e tam bölünür.
- 11 sayısının bölünebilme kriteri Çift sayıların toplamını ve tek sayıların toplamını çıkarırsak ve elde edilen sayı 0 veya 11'in katı ise, bu, incelenen sayının 11'e bölünebildiği anlamına gelir. Bir örnek:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
11 11'ün katı olduğu için 8591 11'e tam bölünür.
Ve hepsi bu! Şimdi sıra sizde: Bu yüksek sayı olan 54657'nin asal olup olmadığını nasıl hesaplayacağınızı zaten biliyor muydunuz?
1'den 10.000'e kadar olan asal sayıların listesi
Son olarak, 1'den 10.000'e veya 1'den 100'e kadar 1 ile 1.000 arasındaki asal sayıların bir listesini arıyorsanız, işte tam ve güncel bir tane:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
