Sayılar gerçekten var mı? Felsefe, tarih ve biçimsel yapılandırma

Ana Sayfa » Kültür » Sayılar gerçekten var mı? Felsefe, tarih ve biçimsel yapılandırma

Zamanı söylemek, süpermarkette ödeme yapmak veya banka bakiyemizi kontrol etmek için sayıları kullandığımızda, onları ev anahtarlarımız kadar gerçekmiş gibi, doğal karşılıyoruz. Ancak dikkatlice düşünürsek, işler daha karmaşık hale geliyor: Sayılar hangi anlamda gerçekten "vardır"?Gezegenler gibi keşfettiğimiz şeyler mi yoksa bir romandaki karakterler gibi icat ettiğimiz şeyler mi?

Bu tartışma, felsefe, tarih ve matematiği oldukça ilgi çekici bir şekilde harmanlıyor. Yüzyıllar boyunca çeşitli cevaplar önerildi: sayıların bizden bağımsız bir tür "soyut dünyanın" parçası olduğuna inananlardan, sayıların sadece birer kavramdan ibaret olduğunu savunanlara kadar. yarattığımız sembolik araçlar Sayma, ölçme ve akıl yürütme için. Bu süreçte, Peano aksiyomları, küme teorisi, doğal, tamsayı, rasyonel, irrasyonel ve gerçek sayıların biçimsel yapısı ve hatta Gödel tarafından keşfedilen ünlü sınırlamalar gibi fikirler ortaya çıkar.

Bir sayının "var olması" ne anlama gelir?

Formüllere ve aksiyomlara dalmadan önce, "varoluş" ile tam olarak ne kastettiğimizi açıklığa kavuşturmakta fayda var. Bir masanın varlığı, Sherlock Holmes'ün varlığı veya... 24 gibi bir sayıMasa fiziksel bir nesnedir; Holmes kurgusal ama iyi tanımlanmış bir karakterdir; diğer yandan 24 rakamı yer kaplamaz, ağırlığı yoktur ve bir çekmecede saklanamaz.

Platon'dan gelen ve konuya yaklaşım biçimlerinden biri, sayıların şu şekilde olduğunu savunur: fiziksel olmayan bir alanda yaşayan soyut varlıklarOnlar maddeden oluşmazlar, ancak Platon felsefesindeki adalet veya güzellik kadar "gerçektirler". Bu bakış açısıyla, matematikçiler sayıları icat etmezler, aksine keşfederler: 24 sayısı, kimse onu düşünmemiş olsa bile "orada" vardı.

Diğer filozoflar ve matematikçiler ise farklı bir şey savunuyor: sayılar daha ziyade geliştirdiğimiz semboller ve kavramsal yapılar Dünyayı modellemek için. Teorilerimiz ve geleneklerimizin dışında var olmazlardı, ancak bu kurallar bir kez oluşturulduktan sonra, matematiksel sonuçlar istediğimiz kadar katı olurdu. Bu yaklaşımda, 24, bağımsız bir matematiksel evrenin parçası değil, üzerinde anlaştığımız bir semboller ve işlemler sisteminin sonucudur.

Ayrıca ilgi çekici ara öneriler de mevcut: bazı yazarlar bir sayının bir tür olduğunu savunuyor. "Var olabilseydi, var olurdu" gibi kendine özgü bir özelliğe sahip soyut nesne.Başka bir deyişle, bir kavramın belirli bir mantıksal veya matematiksel varlığa sahip olması için yalnızca mümkün ve iyi tanımlanmış olması yeterlidir. Bu ifade biçimi, yalnızca sayıları değil, kümeleri, alanları, fonksiyonları, geometrik şekilleri ve matematikte günlük olarak kullandığımız diğer birçok varlığı da kapsamamızı sağlar.

Bu bakış açılarının her birinden bakıldığında, temel sorun benzerdir: Bir sayının varlığı ile kurgusal bir karakterin varlığı arasındaki fark nedir?Herkes 5 sayısının ne olduğunu ve Sherlock Holmes'ün kim olduğunu bilir, ancak onlara aynı türden bir gerçeklik atfetmeyiz. Tartışma, çözüme kavuşmaktan çok, genellikle cevaplardan daha fazla soru ortaya çıkarır.

Sayılar, semboller ve anlam: "2" gerçekte ne anlama geliyor?

Varsayımlarımızı bir kenara bırakıp rakamlara objektif olarak baktığımızda, ilk gördüğümüz şey şudur: yazılı semboller veya telaffuz edildiğinde seslerKağıda yazdığımız "2", sesli olarak söylediğimiz "iki" veya Roma rakamlarındaki "II", sayının kendisi değil, temsilleridir.

Sembol, kendi başına, içerikten yoksun basit bir çizgi veya sestir. Ona anlam kazandıran şey, kolektif mutabakattır: Bu çizginin bir niceliği, bir sırayı, bir ölçüyü temsil ettiğine karar verdik.Tıpkı alfabenin harfleri gibi; tek başlarına hiçbir anlam ifade etmezler, ancak bir araya geldiklerinde fikirler, şeyler veya eylemlerle ilişkilendirdiğimiz kelimeler oluştururlar.

Bu sembolik bakış açısı önemli bir şeyi ortaya koyuyor: Sayıların somut biçiminde "büyülü" hiçbir şey yoktur.Tamamen farklı semboller kullanabilirdik ve aynı kurallar ve anlamlar üzerinde anlaştığımız sürece matematik yine de işe yarardı. Aslında, tarih boyunca tamamen farklı semboller ve kurallara sahip birçok sayı sistemi olmuştur ve bunların hepsi sayma, ölçme ve hesaplama işlevine hizmet etmiştir.

Ancak sayıların günlük hayattaki kullanımı, onları yazmaktan çok daha öteye uzanır: Sayılarla çalışmaya başladığımızda, sayıların gücü daha belirgin hale gelir.Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma… Tüm bu işlemler, pastayı bölmekten GPS navigasyon sistemi tasarlamaya veya aşı dozunu hesaplamaya kadar gerçek olayları modellememizi sağlar.

Matematik, modern teknolojinin neredeyse tamamının temelini oluşturduğu için, özellikle 19. yüzyıldan itibaren matematikçiler şu zorunlulukla karşı karşıya kaldılar: "Sayı"dan ne anladıklarını azami hassasiyetle tanımlamakSadece "saymak için kullandığımız şey bu" demek yeterli değildi; çelişkileri önlemek ve tüm teorinin kesinlikle inşa edilebilmesini sağlamak için resmi bir tanıma ihtiyaç vardı.

Sonsuz sayıda var mı, yoksa bu da o kadar açık değil mi?

Sayıların varlığı tartışılırken en kafa karıştırıcı konulardan biri şudur: sonsuzluk temasıSonsuz sayıda doğal sayı olduğunu söylemeye alışkınız: 0, 1, 2, 3… ve böyle devam eder. Ancak bunu kabul edersek, bazı ilginç sorular ortaya çıkar.

Örneğin: "Tüm sayılar kümesini" düşünürsek ve "rastgele" bir sayı seçmek istersek, 5 elde etme olasılığı nedir? Sezgisel olarak, şöyle bir şey söyleyebiliriz: 1'in sonsuza bölünmesi, sıfır gibi görünür.Ve eğer olasılık sıfırsa, 5'in o kümede "görünmediğini" söylemek akla gelebilir ki bu saçma geliyor çünkü 5 açıkça orada.

Bu tür bir akıl yürütme, sonsuzluk hakkındaki günlük sezgilerimiz ile gerçeklik arasındaki çatışmayı göstermektedir. Matematikte olasılık ve sonsuz kümelerin ele alınış biçimindeki titiz yaklaşımÖlçü kuramı ve olasılıkta, olasılığı sıfır olan bir şeyin imkansız olduğu anlamına gelmez; sadece sonsuz bir süreklilik içinde "ağırlığının" ihmal edilebilir olduğunu gösterir. Başka bir deyişle, "sıfır olasılık = mevcut değil" fikri matematikte doğru değildir.

Buradan daha felsefi bir öneri ortaya çıkıyor: Belki de sayılar tam bir sonsuzluk olarak "verilmemiştir", aksine Onları adım adım, sınırsız bir şekilde ilerleyerek ama sonsuzluğa ulaşmadan üretiyoruz.Başka bir deyişle, sayılar potansiyel olarak sonsuz olabilir (her zaman 1 eklemeye devam edebiliriz), ancak bunların tümünün kapalı bir "toplamı" olmaz.

Bu görüş, doğal sayıların ardışıklık yoluyla (0, ardından ardılı, ardından ardılının ardılı ve böyle devam eden) inşa edilen nesneler olduğu fikriyle bağlantılıdır ve bu da bizi ünlü sonuca götürür. Peano aksiyomları Küme teorisi, modern matematiğin biçimsel temeli olarak.

Hiçlikten sıfıra: kümeler, boşluk ve doğal sayılar

19. yüzyılda birçok matematikçi, doğal sayıları titizlikle oluşturmak için ortak bir dile başvurdu: Küme TeorisiGörünüşte fikir basit: "Kümeler" (koleksiyonlar) ve "elemanlar" (bu koleksiyonlara ait olanlar) ile çalışıyoruz ve bunların nasıl davrandığına dair birkaç temel aksiyom veriyoruz.

Temel aksiyomlardan biri de genişletme aksiyomudur: İki küme, tam olarak aynı elemanlara sahipse eşittir.Bir diğeri olan şartname, bir koşuldan alt kümeler oluşturmamıza olanak tanır: A kümesi ve T özelliği verildiğinde, T özelliğini sağlayan A'nın tüm elemanlarının kümesi mevcuttur.

Bu araçlarla çok önemli bir şeyi tanımlayabiliriz: boş kümeBu küme, hiçbir elemanı olmayan kümedir. A kümesindeki tüm x'lerin x ≠ x (imkansız bir koşul) olacak şekilde kümesi olarak gösterilebilir, dolayısıyla kimse bu kulübe giremez. Bu kümeye genellikle 0 denir ve doğal sayıların biçimsel yapısının temel taşı olur.

Buradan hareketle, ilk sayıları belirli kümeler olarak "adlandırabiliriz": boş kümeye 0, yalnızca 0'ı içeren kümeye 1, hem 0 hem de 1'i içeren kümeye 2 ve benzeri şekilde devam ederiz. Her sayı, bir araya getirilmiş bir küme olarak oluşturulur. yukarıdaki tüm sayılaraDoğal sayıların bu şekilde kodlanması (Frege'nin ve daha sonra von Neumann'ın önerisine benzer şekilde), "küçüktür" sıralamasını kümelerin kapsama ilişkisiyle ilişkilendirmeye olanak tanır.

İlerlemek için birleşim aksiyomuna ihtiyacımız var: verilen bir kümeler koleksiyonu için, en az birine ait olan tüm elemanları içeren bir küme vardır. Ayrıca şunu da tanımlıyoruz: A kümesinin ardılı A+ = A ∪ {A} olduğundan, kümenin kendisini yeni bir eleman olarak ekliyoruz ve bu da sayı sayı "yukarı" gitmemizi sağlıyor.

Bu, kavramı tanıtmaktadır. halef setiBir S kümesi, 0'ı içeriyorsa ve her A elemanını içerdiğinde, onun ardılı A+'yı da içeriyorsa, ardıl küme olarak adlandırılır. Temel bir aksiyom, en az bir ardıl kümenin var olduğunu belirtir. Tüm olası ardıl kümelerin kesişimini alırsak, hepsini içeren en küçük kümeyi elde ederiz: ardıl kümeler tam olarak burada "iç içe geçmiş"tir. doğal sayılar, ℕ.

Peano'nun aksiyomları: 1 + 1 = 2'nin sağlanması o kadar da basit değil

0'ı içeren ve ardışık olarak kararlı olan minimal küme ℕ'yi belirledikten sonra, özelliklerini inceleyebiliriz. Giuseppe Peano, 19. yüzyılın sonlarında, bu kümenin özelliklerini özetleyen çok kompakt bir aksiyom listesi formüle etmiştir. doğal sayıların davranışının özü.

Tipik bir versiyonda, 0 yerine 1'den başlayarak, Peano'nun aksiyomları genel hatlarıyla şunları ifade eder: birincisi, 1 bir doğal sayıdır.İkincisi, her doğal sayının bir ardılı vardır ve bu ardıl da bir doğal sayıdır. Üçüncüsü, hiçbir doğal sayının ardılı 1 değildir (veya başka bir ifadeyle, 0 hiçbir doğal sayının ardılı değildir). Dördüncüsü, eğer bir doğal sayılar kümesi 1'i içeriyorsa ve dizi ile kapalıysa, o zaman tüm doğal sayıları içerir: bu, tümevarım ilkesiBeşinci olarak, iki sayının ardılı aynı ise, bu iki sayı eşittir.

Bu aksiyomlar, biçimsel ve biraz kuru görünseler de, çocukluğumuzdan beri bilinçsizce kullandığımız fikirleri içerirler. Örneğin, tümevarım, "tüm doğal sayılar X koşulunu sağlar" türündeki özellikleri, şunu kanıtlayarak ispatlamamızı sağlar: X, birincisi için geçerlidir. Ve eğer bu bir sayı için doğruysa, ondan sonra gelen sayı için de doğrudur. Bu bir tür mantıksal domino etkisi.

Bu aksiyomlardan, doğal sayıların temel özellikleri çıkarılır; örneğin, Ardılı 0 olan hiçbir sayı yoktur.Ya da "ardıl" işleminin birebir (enjektif) olduğunu (iki sayının aynı ardılı varsa, aynı sayı olduklarını) gösterirler. Ayrıca, ℕ'yi ardıllık ve tümevarımın belirli birleşik koşullarını sağlayan tek küme olarak karakterize etmemize olanak tanırlar.

En ilginç olan şey, bu mantıksal çerçeveden ve halef kavramından yola çıkarak, titizlikle bir yapı oluşturmanın mümkün olmasıdır. olağan aritmetik işlemlerToplama, çarpma ve üs alma işlemlerini ele alıp, "sezgisel olarak öyledir" argümanına başvurmadan, bunların klasik özelliklerini (değişme özelliği, birleşme özelliği, nötr elemanların varlığı vb.) göstermek.

ℕ sayısının toplamını, çarpımını ve üslerini nasıl oluşturabiliriz?

Peano aksiyomlarını kabul edip ℕ kümesini iyi tanımladıktan sonra kendimize şu soruyu sorabiliriz: Toplama gibi işlemleri, varsayımsal olarak kabul etmeden tam olarak nasıl tanımlarız? Bunun için çok güçlü bir araç kullanıyoruz: Tekrarlama TeoremiBu, doğal sayılar üzerinde adım adım tanımlanan belirli fonksiyonların varlığını ve tekliğini garanti eder.

Fikir şu şekildedir: Eğer bir X kümemiz, X'te bir başlangıç ​​elemanı a ve bir f: X → X fonksiyonumuz varsa, teorem, öyle bir u: ℕ → X fonksiyonunun var olduğunu garanti eder ki, u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) Tüm doğal sayılar n için geçerlidir. Yani, a'dan başlayarak f'yi tekrar tekrar uygulayarak u'yu oluşturabiliriz ve bu tanıma uyan iki farklı yöntem olmayacaktır.

Bu fikri doğal sayılara uygulayarak, sabit bir m sayısının herhangi bir n ile toplamını tanımlayabiliriz. X = ℕ, a = m ve her na'yı ardılı n+'ya eşleyen bir s: ℕ → ℕ fonksiyonu alalım. O halde, Tekrarlama Teoremi bize S_m: ℕ → ℕ fonksiyonunu verir; burada S_m(0) = m ve S_m(n+) = s(S_m(n))'dir. Bu fonksiyonu şu şekilde yorumlayabiliriz: m + n toplamıYani, S_m(n) = m + n olarak tanımlıyoruz.

Bu resmi tanım sayesinde, 1 + 1 gibi sıradan bir ifade bile küçük bir uygulama zincirine dönüşüyor: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Matematikçilerin 1 + 1'in 2'ye eşit olduğunu bilmedikleri anlamına gelmiyor bu; mesele, aksiyomatik sistem içinde bu eşitliğin neden kaçınılmaz olduğunu gerekçelendirmek istemeleridir.

Bu tanımdan, 0'ın toplama işleminde etkisiz eleman görevi gördüğü (m + 0 = my, 0 + m = m tüm m'ler için) ve toplama işleminin şu şekilde olduğu gibi özellikler kanıtlanabilir: değişmeli (a + b = b + a) ve bu da aynı şekilde ilişkisel ((a + b) + c = a + (b + c)). Tüm bu ispatlar, tümevarım ilkesine ve ardılların davranışına dayanmaktadır.

Ürün de benzer şekilde tanımlanır. m sayısını sabitliyoruz, P_m: ℕ → ℕ şeklinde bir fonksiyon alıyoruz, öyle ki P_m(0) = 0 ve P_m(n+) = S_m(P_m(n)). P_m(n)'yi şu şekilde yorumluyoruz: m × nÖrneğin, 1 × 2, P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2 şeklinde açılır. Ardından, yine tümevarım kullanılarak özellikleri gösterilir: değişme özelliği, birleşme özelliği ve 1'in çarpımın etkisiz elemanı olması.

Kuvvetler, bir adım daha ileri gidilerek oluşturulur: E_m: ℕ → ℕ'yi E_m(0) = 1 ve E_m(n+) = P_m(E_m(n)) ile tanımlarız ve E_m(n) = m^n yazarız. Bu tanımdan, aşağıdaki gibi özdeşlikler elde edilir: m^(n + k) = m^n × m^kYine tümevarım ilkesi ve ürünün daha önce kanıtlanmış özellikleri yardımıyla.

Bu süreç, her ne kadar biçimsel ve biraz teknik olsa da, temel aritmetiğin yapısının "havada asılı" olmadığını, aksine desteklendiğini göstermektedir. birkaç çok açık aksiyom ve bir avuç mantıksal argümanBu bakış açısından, doğal sayıların "varlığı", bu aksiyomları sağlayan bir modelin (örneğin, boş kümeden oluşturulmuş kümeler) var olduğu anlamına gelir.

Doğal sayılardan tam sayılara, rasyonel ve irrasyonel sayılara

Doğal sayılar kesin olarak belirlendikten sonra, hikaye burada bitmiyor. Günlük ve bilimsel sorunlar bizi daha fazlasını öğrenmeye zorluyor. bu sayısal evreni genişletinÖrneğin, doğal sayılarla sadece saymayı ve toplamayı biliyoruz, ancak genel olarak çıkarma veya bölme işlemlerini bilmiyoruz.

Bir sonraki adım genellikle tanıtmaktır. tam sayılarDoğal sayılar ve bunların negatif versiyonlarını içerir: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Tarihsel olarak, kesirler negatif sayılardan önce gelmiştir, ancak biçimsel açıdan bakıldığında, tam sayılarla başlamak uygundur. Bir tam sayı, doğal sayı çiftlerinin (a, b) bir denklik sınıfı olarak tanımlanabilir; burada iki çifti (a, b) ve (c, d) a + d = b + c ise denk kabul ederiz. Sezgisel olarak, bu, şu şekilde düşünmeye karşılık gelir: -b'den "çıkar"Her ne kadar biçimsel olarak bu çıkarma işlemi henüz ℕ içinde mevcut olmasa da.

Sonra rasyonel sayılarBunlar, her zaman bildiğimiz kesirlere karşılık gelir. Yarım kek, üçte bir litre veya üç çeyrek saat gibi tam sayı olmayan miktarları ölçmek için kullanılırlar. Rasyonel bir sayı genellikle a/b şeklinde gösterilir; burada a ve b tam sayıdır ve b ≠ 0'dır. Biçimsel olarak, her rasyonel sayı, b'nin sıfıra eşit olmadığı (a, b) çiftlerinin bir denklik sınıfı olarak tanımlanır; burada iki çift (a, b) ve (c, d) denk ise a·d = b·cYani, aynı oranda temsil ediliyorlarsa.

Pisagorcular, "her şey sayıdır" ifadesini "her şey rasyoneldir" anlamında kullanıyorlardı; ancak kenar uzunluğu 1 olan bir karenin köşegeninin (2'nin karekökü) tam sayıların kesri olarak yazılamayacağının keşfedilmesiyle bu görüş yıkıldı. Daha sonra ayrıca şu da gösterildi ki π ve e irrasyonel sayılardır.Yani, bunlar a ve b'nin tamsayı olduğu a/b şeklinde ifade edilemezler.

Titizlikle oluşturmak için irrasyonel sayılar Bu biraz daha hassas bir konu. Bunu yapmanın zarif bir yolu da telefon görüşmeleri yoluyladır. Dedekind kesintileriBuradaki fikir, belirli bir üst sınıra sahip rasyonel sayıların belirli alt kümelerini ele almaktır. Örneğin, karesi 2'den küçük olan tüm rasyonel sayıların kümesini alabiliriz; bunun doğal "kesimi" √2'dir ve bu rasyonel değildir. Bu şekilde, her uygun kesim bir gerçek sayı olarak düşünülebilir ve bu kesimlerin bazıları rasyonel sayılara karşılık gelmez.

Tüm rasyonel sayıları ve irrasyonel sayılara yol açan tüm bu kesimleri birleştirerek, kümesini oluşturuyoruz. gerçek sayılar, ℝℝ'de, sürekli büyüklükleri ölçmek için kullandığımız tüm sayılar bulunur: uzunluklar, alanlar, zamanlar, hızlar vb. Gerçek sayılar kümesinin içinde, her birinin kendine özgü bir yorumu olan doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar da "yerleşiktir".

Sayı sistemlerinin tarihine kısa bir bakış

Sayıların varlığı sorusu sadece soyut bir soru değil; aynı zamanda farklı kültürlerin sayıları nasıl öğrendiğinin tarihine de yansıyor. miktarları sayma ve yazmaSayılarla ilgili en eski kanıtlar MÖ 7000 civarına kadar uzanıyor; bu dönemde basit sayımlar yapmak için işaretler ve kemikler kullanılıyordu.

Antik Mısır'da, Birinci Hanedanlık döneminde, hiyeroglif ondalık sayı sistemi geliştirildi. On sayısının her kuvvetinin kendine ait bir sembolü vardı ve bunlar şunlardı: Elementleri onar onar gruplandırdılar.Vergi hesaplama, tarım alanlarını ölçme veya tapınak inşa etme gibi pratik işler için kullanılıyordu.

Mezopotamya'da Sümerler ve daha sonra Babilliler altmışlık bir sayı sistemi kullanmışlardır, yani, taban 60Karmaşıklığı, çok sayıda sembol ve olası kombinasyonlardan kaynaklanıyordu, ancak astronomi ve zaman ölçümü için son derece etkili olduğu kanıtlandı. Aslında, bugün bile saat, dakika ve saniyelerde bu mirası kullanıyoruz.

Yunanlılar Mısır'ın onluk sistemini referans alarak kendi sistemlerini geliştirdiler. alfabelerindeki harfleri kullanarak sayıları temsil ediyorlar.Ancak Attika sistemi oldukça katıydı ve ileri aritmetiğin gelişimini bir ölçüde sınırladı; buna rağmen Yunanlılar geometri ve mantıksal ispatlarda olağanüstü başarılar gösterdiler.

Bize daha tanıdık gelen Roma sistemi, belirli harflere sayısal değerler atamıştı (I, V, X, L, C, D, M). Görünüşte diğerlerinden daha basit olmasına rağmen, Konumla ilgili değildi.Bu durum, karmaşık hesaplamaları yapmayı çok zahmetli hale getirdi. Bir binanın cephesindeki birkaç tarih için sorun olmayabilir; ancak cebirsel işlemler için pek uygun değil.

Buna paralel olarak, MÖ 5. yüzyıl civarında Hindistan'da ondalık ve basamaklı bir sistem ortaya çıktı. Bu sistemde, her rakamın değeri konumuna bağlıdır ve bir basamağın on birimi, bir üst basamağın bir birimine eşdeğerdir. Bu sistem, açıkça şunları içeriyordu: sıfır bir sayı olarakSon derece etkili ve pratik olduğu kanıtlandı.

Araplar, Hindu, Yunan ve Mısır gibi kültürlerle temas halindeyken bu ondalık basamaklı sistemi benimseyip yaydılar. Her ne kadar "Arap rakamları"ndan bahsetsek de, gerçekte durum böyle değildir. Kökeni Hindistan'dadır.Bu sistem, başta Endülüs olmak üzere çeşitli yerler aracılığıyla İslam halkları tarafından Avrupa'ya aktarıldı. Zamanla bu sistem, Roma rakamlarının yerini aldı ve dünya standardı haline geldi.

Kolomb öncesi Amerika'da, Maya uygarlığı 20 tabanlı ve aynı zamanda basamaklı, olağanüstü gelişmiş bir sayı sistemi geliştirmiştir. Dahası, sıfırı açıkça tanımışlardır. Sayıları birleştirerek temsil etmişlerdir. noktalar ve çubuklarBirimler için noktalar ve beşerli gruplama için çubuklar. Takvim ve astronomi konusundaki bilgisi şaşırtıcı derecede doğruydu.

Bu tarihsel genel bakışın tamamı, biçimler ve kurallar değişse de, Dünyayı sayma, ölçme ve düzenleme ihtiyacı evrenseldir.Sayılar, çeşitli biçimleriyle, çevreyle olan deneyimini organize etmek isteyen her medeniyetin ortaya çıktığı yerde tekrar tekrar karşımıza çıkıyor gibi görünüyor.

Sistemin sınırları: Gödel ve matematiğe olan inanç

19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında birçok matematikçi, matematiği bir şeye dönüştürmeye çalıştı. Çelişkilerden arınmış, tamamen sağlam bir yapı.Amaç, diğer tüm matematiksel sonuçların saf mantık kullanılarak çıkarılabileceği sonlu bir temel aksiyom kümesi bulmaktı.

Henri Poincaré gibi isimler bu hedefe şüpheyle yaklaştılar ve ulaşılamaz olduğunu düşündüler; öte yandan, önderliğindeki diğerleri ise... david hilbertAritmetik ve dolayısıyla matematiğin diğer dalları için kusursuz bir aksiyomatik sistemin elde edilebileceğinden emindiler.

Ardından Kurt Gödel ortaya çıktı ve manzarayı sonsuza dek değiştiren iki teorem ispatladı. İlki, büyük ölçüde basitleştirerek, temel aritmetiği içerecek kadar güçlü herhangi bir sistemde (örneğin, Peano aksiyomlarıDolayısıyla, sistemin kendi içinde kanıtlanamayan doğru önermeler her zaman olacaktır. Başka bir deyişle: aritmetik hem eksiksiz hem de tutarlı olamaz.

Gödel'in ikinci teoremi daha da rahatsız edicidir: aritmetik gibi aksiyomatik bir sistem tutarlıysa (çelişki içermiyorsa), o zaman Bu tutarlılık sistemin içinden gösterilemez.Eğer birisi, yalnızca aritmetiğin aksiyomlarını ve kurallarını kullanarak aritmetikte hiçbir çelişki olmadığını kanıtlayacak olsaydı, bu paradoksal olarak sistemin tutarlı olmadığı anlamına gelirdi.

Bu sonuçlar bazen bir tür "kozmik şaka" olarak yorumlanmıştır: eğer bilginin nihai aracı olarak matematiğe bu kadar çok güveniyorsak, bir anlamda şunu kabul etmeliyiz ki, Matematiksel çerçeve içinde kanıtlayamayacağımız bir şeye de inanmalıyız.Çelişki içermeyen, makul bir aritmetik sisteminin "varlığı", asgari düzeyde bir inanç eylemi gerektirir.

Sembollerden ve İşango kemiğinden başlayarak Mısır, Babil, Hindistan ve Maya uygarlıklarına, küme teorisine, Peano aksiyomlarına, farklı sayı türlerinin biçimsel yapılarına ve Gödel teoremlerine kadar uzanan bu yolculuğun tamamını bir araya getirdiğimizde, sayıların aynı zamanda insan yapımı aletler ve şaşırtıcı derecede sağlam yapılarBunların soyut varlıklar mı yoksa karmaşık kurallar mı olarak "var oldukları" konusunda tartışabiliriz, ancak evren anlayışımızı şekillendirdikleri ve bir şekilde bizi aştıkları açıktır: biz ortadan kaybolsak bile, 1 + 1'in artık 2 olmayacağı bir evreni hayal etmek zordur.